Окончив школу, он поступил на юридический факультет Московского университета, но уже в те годы играл на сцене студенческого театра, а также посещал занятия сначала в театральной школе А. А. Матвеевой, а потом и в студии имени Шаляпина.
В двадцатые годы он играл на сценах нескольких театров. Первое время работал в Москве, в театре им. Комиссаржевской, где триумфальной для него стала роль Чичикова в «Мёртвых душах». Потом он переехал в Одессу, но, проработав там один сезон, покинул её, обосновавшись в Казани, но и оттуда вскоре уехал.
В конце десятилетия он числился в составе труппы Ленинградского драматического театра Народного дома.
В тридцатые Михаил Астангов решил возвратиться в столицу, где его с радостью приняли в Театр Революции. На этой сцене он сыграл немало ярких ролей: итальянский анархист Спавента («Улица радости»), Гай («Мой друг»), Ромео («Ромео и Джульетта»), Павел Греков («Павел Греков»), Паратов («Бесприданница»), «Керенский («Правда») и многие другие.
В начале сороковых артист играл в Театре имени Моссовета, а потом окончательно обосновался в Театре имени Вахтангова, где и проработал до конца своей жизни.
Не мог пройти мимо этого выразительного актёра и кинематограф. Михаил Фёдорович Астангов начал сниматься ещё в начале тридцатых годов. Тогда и позднее невероятная сила его таланта вкупе с мужественной внешностью и прекрасным голосом позволили ему регулярно получать предложения от кинорежиссёров. Причём одинаково хорошо он играл как положительных, так и отрицательных персонажей.
Самыми успешными можно назвать воплощённые на экране образы Фогельзанга («Семья Оппенгейм»), Аракчеева («Суворов»), Станислава Коморовского («Мечта»), Негоро («Пятнадцатилетний капитан»), доктора Вернера («Княжна Мери»).
