U 1957-yil 18-oktabrda Moskvadagi Jukovski shahrida tug'ilgan.
Anatoli bolaligidan kino haqida orzu qilmagan. Uning kasbiy intilishlari moliya dunyosi bilan bog'liq bo'lgan. 1980-yilda u Moskva moliya institutida oliy ma'lumot olgan, butun Ittifoq tashqi savdo akademiyasida malakani oshirish kursini tamomlagan. Fundamental iqtisodiy bilimlar keyinchalik unga bir necha marta foydali bo'lgan.
1982-1986-yillarda Anatoli SSSR Vneshtorgbankining Davlat kreditlari boshqarmasida ishlagan. 1987-yilda u SSSR Ijod akademiyasining ijodiy-ijrochi markazining ijrochi direktori bo'lgan. Shu vaqtdan boshlab Suvushovning yangi hayoti boshlangan. U ushbu markazda 1992-yilgacha ishlagan.
1991-yilda Anatoli Rossiya kaskadyorlar assotsiatsiyasini boshqargan. Rossiyaning eng yaxshi kaskadyorlari bilan hamkorlik natijasi sifatida mashhur mahalliy va xorijiy filmlar paydo bo'lgan. Amerika va Britaniya kinokompaniyalari bilan hamkorlik natijasi sifatida boy tajriba, shuhrat va "Oltin ko'z", "Politsiya akademiyasi-7", "Bornning ustunligi", "Qirollik o'qchisi Sharpning sarguzashtlari" va boshqa ko'plab filmlarning yaratilishida ishtirok etgan.
Suvushovning birinchi mahalliy filmi "Krestonosets" bo'lgan, u erda u prodyuser sifatida Aleksandr Inshakov bilan birgalikda ishlagan. 1995-yilda ekranga chiqqan vaqtida film Rossiya kinosida yorqin burilish bo'lgan. Gollivud uslubidagi jangari filmdan eslatgan "Krestonosets" professional kaskadyorning giyohvandlik mafiyasiga yolg'iz kurashini hikoya qilgan. Filmning muvaffaqiyati shov-shuvli bo'lgan va 1998-yilda ekranga "Krestonosets-2" chiqqan, u allaqachq komediya xarakterga ega bo'lgan.
Keyinchalik Inshakov bilan birgalikda prodyuser tarixiy drama "Ritsarlik romani" (2000) yaratishda ishtirok etgan, uning ssenariysi Valter Skottning "Graf Robert Parij" romanining erkin izohlanishi hisoblanadi.
Ammo Suvushovning eng katta prodyuserlik muvaffaqiyati umuman "Briyada" seriali (2002) deb tan olinadi. Ushbu loyiha Anatoli va loyihaning boshqa prodyuserlariga "TEFI" va "Oltin burgut" mukofotlarini olib kelgan. Ko'p seriyali film to'rtta oddiy do'stning taqdiri tufayli jinoyat olamida o'z yo'llarini ochishga majbur bo'lishini va eng nufuzli guruhlardan biriga aylanishini hikoya qiladi. Serialning yaratuvchilari jinoyat olamini idealizatsiya qilgani uchun tanqidga duch kelgan bo'lsa-da, loyiha keng tan olindi va televidenie tomoshabinlarining sevgisiga sazovor bo'ldi.
2003-yilda Suvushov "Avatar Film" kinokompaniyasini asoslagan.
Prodyuser sifatida Anatoli "Yulduzshunos" (2004), "Tarmoq" (2008), "Sevgiga yomon baho" (2009), "Hokkey o'yinlari" (2012) va boshqa filmlar va seriallarning yaratilishida ishtirok etgan.
Suvushov reytingli televizion loyihalar "Qoidasiz janglar" va "Omon qolish uchun poygalar"ning asoschilaridan biri hisoblanadi.
