Tavallud topgan sanasi 13 iyul 1944 yil Moskvada. Borisga 4 yoshida, otasi Vladimir gastrollarda bo'lganida, yurak hujumidan vafot etgan. O'sha paytda onasi atigi 29 yoshda edi, lekin u boshqa turmushga chiqmadi: o'g'li uyda boshqa erkaklarga nisbatan yoqimsizlik his qilardi.
Maktabda Klyuev juda yaxshi o'qimadi, ko'pincha darslarni tashlab ketardi. Uni aktrisa Klavdiya Polovikova qutqardi, u maktabda "Chertova melnitsa" spektaklini qo'ygan. Borisga birinchi darajali shayton roli berilgan. Debyut juda muvaffaqiyatli bo'ldi, shundan keyin oldingi ikki marta yiqilgan o'quvchi maktab yulduziga aylandi. Aynan o'sha paytda u Shchukin nomidagi o'quv yurtiga o'qishga kirish orzusiga ega bo'ldi, bu joyni avvalroq otasi tugatgan edi. Biroq bu orzu amalga oshmadi: Boris kirish imtihonlarini topshirdi, lekin ma'muriyat unga hujjatlarini olib, armiyaga borishni qattiq maslahat berdi. Klyuev sarosimaga tushmadi va Shchepkin nomidagi o'quv yurtiga o'tdi. To'g'ri, u baribir uch yil xizmat qilishi kerak edi. 1969 yilda Boris diplom oldi va Kichik teatr truppasiga qo'shildi. Dastlab u ommaga kichik rollarni o'ynadi, ammo vaqt o'tib, kollektivning ustozlari uning iste'dodini tan oldi. Ayniqsa, "Dachniklar" spektaklidagi o'yinini muvaffaqiyatli deb hisoblashdi. 1970 yilda u Konstantin Simonovning kitobi asosida "Shunday bo'ladi" spektaklida asosiy rollardan birini ijro etdi.
Borisning kino debyuti – "Imperiyaning qulashi" filmi (1970). 1970-yillarda u ko'plab boshqa tarixiy filmlarda suratga tushdi, "Rudobel respublikasi"da Tep litskiy, "Qiynalishlar yo'li"da knyaz Bel'skiy, "D'Artanyan va uch mushketyor"da Rosfor rollarini o'ynadi. 1980-yillarning boshida "Sherlok Xolmsning sarguzashtlari" filmining vaqti keldi – Klyuev Maykroft, afsonaviy london tergovchisining tug'ilgan ukasi rolini ijro etdi.
Biroq aktyorning haqiqiy xalq shuhratini "TASS vakolatli e'lon qiladi" teleserialidagi Trianon shpioni roli olib keldi. Kino tanqidchilari Klyuev haqida gapirganda, doimo "zot" so'zini eslatib o'tishadi. Boris haqiqiy aristokratik tashqi ko'rinish va tabiiy jozibaga ega. Aynan shuning uchun uning qahramonlari orasida juda ko'p markiz va boshqa zodagonlar bor. Shunday qilib, aktyor "Mihaylo Lomonosov"da graf Grigriy Orlov, "Qirolicha Margoda" va "Grafinya de Monsoro" filmlarida gertsog de Giza rollarini o'ynadi.
Klyuevning so'nggi rollari orasida "Patriarxlar ko'chasidagi burchakda", "Kamenaskaya", "To'qqiz noma'lum", "Krasin himoyasi-2", "Voroninglar" seriallari va filmlari bor.
