В 1990 году окончил Днепропетровское театральное училище, после чего перебрался в Одессу. Затем Александр Суворов стал актером Одесского Русского драмтеатра. На его сцене отметился участием в таких спектаклях, как «Страна негодяев», «Человек, который смеется», «Атака века», «Анна Каренина», «Вишневый сад», «Последний Дон Жуан», «Чайка», «Степан Разин», «Особо женатый таксист», «Пляска Чингиз-Хаима», «Ladies’ Night» и «Пятеро».
Дебютировал на экранах в 2003 году, снявшись в сериале Владимира Янощука «Дух земли». В 2005 году артист сыграл лейтенанта Самойлова в боевике Виталия Воробьева и Ивана Криворучко «Неслужебное задание 2: Взрыв на рассвете». В 2006 году на телевизионные экраны вышел триллер Владимира Янощука «Без особых примет» с участием Александра Суворова. В том же году артист исполнил роль Кудимова в сериале «Иван Подушкин: Джентльмен сыска». В криминальной ленте Алексея Пиманова «Три дня в Одессе» 2007 года Александр сыграл капитана Прохорова.
В том же году отметился участием еще в шести полнометражных картинах и сериалах. Исполнил роль Черного в детективном сериале «Ликвидация», сыграл Леву в комедии Анатолия Матешко «Луна-Одесса», капитана Прохорова в многосерийном телефильме «Александровский сад 2», Егорова в военном фильме «Саперы», Павла в мыльной опере Олега Фиалко «Садовник» и майора Белова в сериале «Сильнее огня».
В 2008 году на телевизионные экраны вышла многосерийная военная лента Александра Замятина «Разведчики: Последний бой», в которой Александр Витальевич отметился ролью подполковника Игнатова. В том же году вышло продолжение серила, в котором Александр Суворов вернулся к уже знакомому образу Игнатова. В фильме «Химия чувств» 2008 года сыграл Бориса. В 2009 году фильмография актера пополнилась участием в следующих проектах: «Колдовская любовь 2», «Золотой автомобиль», «Разлучница» и «Дот». С 2010 году артист снялся в сериале Анатолия Матешко «Акула» и детективе Дениса Червякова «Частный сыск полковника в отставке».
