После школы по рекомендации отца, офицера-пограничника, устроилась работать в отделение разведки, где занимала должность секретаря-делопроизводителя в должности старшего сержанта.
Драматическому искусству Элеонора Шашкова обучалась в Щукинском училище, по окончании которого в 1963 году стала работать в Театре им. Вахтангова, где и сделала основную карьеру актрисы. На этой сцене Элеонора Шашкова играла в таких спектаклях, как «Западня», «Стряпуха замужем», «Мещанин во дворянстве», «Женщина за зеленой дверью» и «Проделки Скапена».
В кино Элеонора дебютировала, учась еще на втором курсе училища. Она исполнила эпизодическую роль в фильме «Две жизни» с Вячеславом Тихоновым. Затем появилась в социальной драме «Тишина» и фильме «Возвращение Вероники».
В 1969 году на экраны вышел знаменитая лента «Ошибка резидента» с Георгием Жженовым в главной роли. Здесь и пригодился опыт, полученный Элеонорой в разведотделении: она сыграла Марию, жену разведчика Тульева, главного героя. Картина пользовалась большим успехом, и в дальнейшем были сняты ее продолжения, в которых также играла Элеонора Шашкова: «Судьба резидента» в 1970 году и «Возвращение резидента» в 1980 году. В драме 1971 года «Тени исчезают в полдень» актриса чрезвычайно убедительно справилась с отрицательным персонажем – женой Фрола.
Огромный резонанс вызвала ее небольшая роль в сериале Татьяны Лиозновой «Семнадцать мгновений весны», где она сыграла жену Штирлица, появившись лишь в одном, но очень сильном эпизоде. Сцена встречи разведчика с женой длится пять с половиной минут и является одной из самых ярких в фильме. В том же году Элеонора вместе с Бориславом Брондуковым сыграла в фильме «Я служу на границе». В 80-х годах актриса появилась в картинах «Слезы капали», «Талисман» и «Свадьба старшего брата».
После большого перерыва великая актриса вновь стала получать приглашения на съемки. В 2006 году она появилась в сериале «Утесов. Песня длиною в жизнь», а затем ее можно было видеть в сериалах «Я лечу», «Мачеха», «Высший пилотаж» и других.
