Родился 13 января 1988 года в Белграде, в семье врача-дефектолога и экономиста. У Милоша есть старший брат Михаил, избравший путь монаха. Актер окончил гимназию в родном городе. С 13 лет он посещал театральный класс. В 16 лет Милош поступил в Белградский государственный университет на факультет драматических искусств. После ему удалось стать одним из членов труппы Белградского национального театра.
С 2004 года Милош стал сниматься в сербских сериалах. По совету брата Бикович написал письмо Никите Михалкову и в итоге получил роль в фильме «Солнечный удар» (2014). Ради этой роли ему пришлось приложить не мало стараний, чтобы в краткие сроки выучить русский язык. Благодаря этой роли Милош стал известен российским режиссерам. Вскоре он получил роль Романа Белкина в картине «Духless» (2015).
В 2015 актер снялся в картине Резо Гигинеишвили «Без границ». В 2016 он попал в комедийный сериал «Отель Элеон». В 2016 году Бикович снялся в спортивной драме «Лёд», а также в картине Александра Молочникова «Мифы». Невероятная популярность пришла к актеру после фильма «Холоп», который собрал в прокате более 3 миллиардов рублей.
О своей личной жизни Милош предпочитает не распространяться, но известно, что в 2015 и 2016 году он встречался с топ-моделью Сашей Лусс, а после у него завязались романтические отношения с дочерью Ксении Раппопорт, актрисой Аглаей Тарасовой.
