Родилась 6 марта 1990 года в Мадриде. Девочка с детства демонстрировала актерские задатки, разыгрывая театральные сценки в кругу родных и знакомых. Благодаря этому, Клара начала актерскую карьеру в довольно юном возрасте. Первый съемочный опыт пришел, когда ей едва исполнилось десять лет. Лаго приняла участие в съемках телевизионного проекта «Партнеры». Первой полнометражной работой в том же 2000 году стала испанская комедия Фернандо Уэртаса «Жалкая жизнь». Девочку заметили, и уже через два года Клара приняла участие в съемках семейной драмы Иманоля Урибе «Путешествие Кэрол», где исполнила уже не второстепенную, а главную роль. Фильм получил массу положительных отзывов со сторону кинокритиков и зрительское признание. В 2003 году картина участвовала в конкурсной программе Берлинского кинофестиваля, где завоевала приз «Хрустальный медведь» как лучший художественный фильм.
В том же году работа маленькой актрисы также удостоилась номинации «Лучший дебют» престижнейшей испанской кинопремии «Гойя». Партнером Клары по съемочной площадке стал юный актер Хуан Хосе Баллеста. Эта работа была уже второй совместной для актеров. Ранее они встречались на площадке телесериала «Партнеры». В 2004 году Лаго появилась в драме Мануэля Гутьерреса Арагона «Все еще впереди». Лента прошла показ на Берлинском кинофестивале, где завоевала «Золотого медведя». Далее последовали съемки в молодежной драме Сезара Мартинеса Эррада. В 2007 году Клара получила приглашение на съемки в нашумевшей черной комедии Роберто Сантьяго «Клуб самоубийств», повествующей историю о том, как парочка юных авантюристов решила заработать на чужой смерти. Параллельно с этим, Лаго принимала участие в работе над комедийным полицейским телесериалом Даниэля Эсиха и Алекса Пина «Люди Пако». Одним из партнеров по фильму стал известный испанский актер Марио Касас Сьерра.
В 2008 году Клара вновь получила главную роль. Теперь это была драма Мануэля Гомеса Перейра «Игра повешенного». Главную мужскую роль в картине исполнил Альваро Сервантес. Фильм не имел шумного успеха, но заслужил высокую оценку у зрителей. В 2010 году на большие экраны вышла новая актерская работа Лаго, драма Оскара Сантоса Гомеза «Дар». На этот раз девушка получила возможность поработать с такими актерами, как Эдуардо Норьега, сыгравший в фильме культового режиссера Алехандро Аменабара «Открой глаза», и Белен Руэда, исполнившая роль в оскароносной картине того же Аменабара «Море внутри». Лента стала участницей программы Берлинского фестиваля. Далее последовало участие Клары в комедии Даниэля Санчеса Аревало «Кузены». Главную мужскую роль исполнил Ким Гутьеррес. Уже в следующем году актеры вновь встретились на съемках нового проекта. Теперь оба играли главные роли в психологическом триллере совместного колумбийско-испанского производства «Бункер», снятого режиссером Андресом Баисом. Но настоящую международную известность актрисе принес проект 2012 года, мелодрама Фернандо Гонсалеса Молина «Три метра над уровнем неба. Я хочу тебя», в работу над которым также включились партнеры по ранним фильмам «Люди Пако» Марио Касас и «Игра повешенного» Альваро Сервантес. Лента была номинирована на премию «Гойя» за «Лучший адаптированный сценарий». Этот фильм стал продолжением романтической драмы «Три метра над уровнем неба», снятым несколькими годами ранее и моментально собравшим армию поклонников по всему миру.
